NÚMEROS COMPLEJOS. Operaciones básicas.

Existe un conjunto denotado por \(\mathbb{C}\) llamado “conjunto de los números complejos” tal que \(\mathbb{C}\) es igual al conjunto de los números reales, más el conjunto de los imaginarios \(\mathbb{C}={{\mathbb{R}}+{I_m}}\) para cual están definidas las siete operaciones fundamentales de la aritmética, esto es, adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación, radicación y logaritmación.

Adición y sustracción de complejos.
Dados los números complejos \(z_1=a+bi\) y \(z_2=c+di\) en su forma binómica o de par ordenados, la adición de ellos está definida mediante la definición de adicción.

$$(a,b)+(c,d)=\left(a+c,\ b+d\right)$$ de donde para la forma binómica se tiene, $$z_1\pm z_2=\left(a+bi\right)\pm\ \left(c+di\right)=\left(a\pm c\right)+(bi\pm di)$$ es decir, se suman o restan real con real e imaginario con imaginario.

Ejemplo 1. Adición y sustracción de complejos.

1.a \((6+2i)+(8+3i)=(6+8)+(2i+3i)=14+5i\)
1.b \((4-2i)-(2+4i)=(4-2)+(-2i-4i)=2 –6i\)

Algunas propiedades de la adición de complejos.
La adición de complejos cumple con las propiedades ya conocidas de la adición, como son la propiedad conmutativa, asociativa, distributiva, elemento neutro, inverso aditivo y además:

1. La suma de complejos conjugados da como resultado un número real puro. $$\left(a+bi\right)+\left(a-bi\right)=\left(a+a\right)+\left(bi-bi\right)=2a\ \in\mathbb{R}$$ 2. Al sumar un complejo con su opuesto (inverso aditivo) obtenemos como resultado el elemento neutro. $$\left(a+bi\right)+\left(-a-bi\right)=\left(a-a\right)+\left(bi-bi\right)=0+0=0$$

Producto de complejos.
El producto de dos números complejos en forma cartesiana o binómica está dada por la definición de multiplicación de complejos,

$$D_f:~~ \left(a,b\right)\left(c,d\right)=\left(ac-bd,\ ad+bc\right).$$ En la práctica resulta más conveniente al multiplicar dos o más números complejos la forma binómica, en la cual basta con realizar la multiplicación algebraica de binomios teniendo en cuenta la igualdad \(i^2=-1\).

Ejemplo 2. Producto de dos complejos. Realizar los productos siguientes.
\(\textcolor{#ff0080}{1}.~~\left(2+3i\right)\left(4-2i\right)~~~~~~~ \textcolor{#ff0080}{2}.~~\left(4+3i\right)\left(5-3i\right).\)
Solución 1: \begin{align} &\left(2+3i\right)\left(4-2i\right)=2\left(4-2i\right)+3i(4-2i)\\ &\left(2+3i\right)\left(4-2i\right)=8-4i+12i-6i^2\\ &\left(2+3i\right)\left(4-2i\right)=8+8i-6(-1)\\ &\left(2+3i\right)\left(4-2i\right)=8+8i+6\\ &\left(2+3i\right)\left(4-2i\right)=14+8i\end{align} Solución 2: \begin{align} &\left(4+3i\right)\left(5-3i\right)=4\left(5-3i\right)+3i(5-3i)\\ &\left(4+3i\right)\left(5-3i\right)=20-12i+15i-9i^2\\ &\left(4+3i\right)\left(5-3i\right)=20+3i-9(-1)\\ &\left(4+3i\right)\left(5-3i\right)=20+3i+9\\ &\left(4+3i\right)\left(5-3i\right)=29+3i\end{align}

Cociente de números complejos.
Para dividir dos complejos \(z_1=x+yi\) entre \(z_2=m+ni\) se escribe la división en forma de fracción, se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador, se realiza la multiplicación de fracciones, y se simplifican las operaciones indicadas esto es, $$(x+yi)\div (m+ni)\Longrightarrow\frac{x+yi}{m+ni}\left(\frac{m-ni}{m-ni}\right)=\frac{(x+yi)(m-ni)}{(m+ni)(m-ni)}$$ Ejemplo 3. Determinar el cociente de los complejos en cada caso.
\(\textcolor{#ff0080}{1}.~~ (3+5i)\div(2-3i)~~~~~~~~~~~\textcolor{#ff0080}{2}. (7-2i)\div(8+9i)\)

Solución: según las indicaciones para la división se de comenzar por escribir los complejos en forma de fracción, multiplicar numerador y denominador por el conjugado del denominador y luego simplificar las operaciones indicadas.

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